Question

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直一CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（Ⅰ）当点M在⊙O内部，如图1，试证明PN是⊙O的切线；
（Ⅱ）当点M在⊙O外部，如图2，其它条件不变时，（Ⅰ）的结论是否还成立？请说明理由；
（Ⅲ）如图3，在（Ⅱ）的条件下，若∠AMO=15°，求PN的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（I）根据等边对等角即可证得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根据直角三角形两锐角互余即可证得∠PNO=90°，从而证得；
（II）连接ON，根据等边对等角即可证得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根据直角三角形两锐角互余以及等量代换，即可证得∠PNO=90°，从而证得；
（III）根据（Ⅱ）的结论可得∠ONP=90°，进而求得∠OPN的度数，然后利用三角函数即可求解．

解答：解：（1）PN和⊙O相切．
证明：连接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴∠OAM+∠OMA=90°．
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°，
即PN和⊙O相切；

（Ⅱ）成立．
证明：连接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴在直角△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°，
∴∠PNO=180°-90°=90°，
∴PN和⊙O相切；

（Ⅲ）连接ON．
由（Ⅱ）可知∠ONP=90°，
∵∠AMO=15°，PM=PN，
∴∠PNM=∠AMO=15°，
∴∠OPN=∠PNM+∠AMO=30°，
在直角△NOP中，ON=1，
∴PN=

ON

tan30°

=

3

．

点评：本题考查了切线的判定与三角函数，证明切线的常用方法是连接圆心和直线与圆的公共点，然后证明垂直．