Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，过C作B点处切线的垂线，垂足为D，则下列结论中正确的有

①③④⑤

．
①BC²=AB•CD；②sin∠ABC=cos∠BCD；③tan∠ABC=

BD

CD

；④AC＞BD；⑤

AB

AC

=

BC

BD

．

Answer 1

分析：由BD为圆O的切线，得到AB与BD垂直，得到一对角互余，再由CD垂直于BD得到直角三角形BCD中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠ABC=∠BCD，进而得到sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，选项②错误；利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，由相似得比例，变形后得到①与⑤正确；在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BCD，即为tan∠ABC，得到选项③正确；C在运动过程中，由斜边大于直角边得到AC大于BD，故选项④正确．

解答：解：∵BD为圆O的切线，
∴∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，
∵CD⊥BD，∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

=

AC

CD

，即BC²=AB•CD，故选项①正确；
∴sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，选项②错误；
由tan∠ABC=tan∠BCD=

BD

CD

，选项③正确；
而无论C如何移动均有AC＞BC，选项④正确；
由相似关系得

AB

AC

=

BC

BD

，故选项⑤正确．
故答案为：①③④⑤

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．