Question

如图，在△ABO中，已知点A(

3

，3)、B（-1，-1）、O（0，0），正比例函数y=-x图象是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C．
（1）C点的坐标为

 

；
（2）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（90°≤α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′．
①∠α=

 

；②画出△A′OB′．
（3）写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）直线AC∥x轴交直线l于点C，可知A、C两点纵坐标相等，直线l解析式为y=-x，可知C点横、纵坐标互为相反数，可求C点坐标；
（2）已知B（-1，-1）可知OB为第三象限角平分线，又直线l为二、四象限角平分线，故旋转角为90°，依题意画出△A′OB′即可；
（3）根据A点坐标可知OA与x轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=165°，根据对应关系，则∠DOC=165°，故OD在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°，根据A、B、C三点坐标求OA、OB、OC，利用

OD

OA

=

OC

OB

求OD，再确定D点坐标．

解答：解：（1）∵直线AC∥x轴交直线l于点C，
∴A、C两点纵坐标为3，代入直线y=-x中，得C点横坐标为-3，
∴C（-3，3）；

（2）由B（-1，-1）可知，OB为第三象限角平分线，
又直线l为二、四象限角平分线，
∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°，△A′OB′如图所示；

（3）∵A点坐标可知OA与x轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=165°，
根据对应关系，则∠DOC=165°，故OD在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°，
根据A、B、C三点坐标，
∴OA=2

3

、OB=

2

、OC=3

2

，
∵

OD

OA

=

OC

OB

，
∴DO=

CO•AO

BO

=

2 3 ×3  2

2

=6

3

，
∴D点的横坐标为：3

3

，或纵坐标为：-3

3

，
∴D点坐标为（9，-3

3

），（3

3

，-9）．

点评：本题考查了旋转变换的作图，一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质．关键是根据点的坐标，直线解析式的特点求相关线段的长，角的度数，利用形数结合求解．