Question

18．如图，已知抛物线y=x²+4x+3的顶点为A，抛物线与x轴相交于点B和点C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点D、点P为对称轴直线l上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点A向上运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）①当t为2秒时，△PCD的周长最小；
②当t为4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形；（结果保留根号）
（3）探究点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）①根据两点之间线段最短，可得P在BD上，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PA的长，再根据路程除以速度，可得答案；
②根据两边相等的三角形是等边三角形，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PA的长，再根据路程除以速度，可得答案；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，x²+4x+3=0，解得x=-3，x=-1，
即B点坐标为（-3，0），C点坐标为（-1，0）；
（2）①配方，得y=（x+2）²-1，即A（-2，-1），
当x=0时，y=3，即D（0，3）．
P在BD上时，△PCD的周长最小，
设BD的解析式为y=kx+b，将B、D点坐标代入函数，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，BD的解析式为y=x+3，
当x=-2时，y=1，即P（-2，1）．
PA的长为1-（-1）=2，
2÷1=2s，
当t为2秒时，△PCD的周长最小；
②设P（-2，b），由勾股定理，得
CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PC=$\sqrt{（-2+1）^{2}+{b}^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$．
Ⅰ当PC=CD时，b²+1=10，解得b=3，b=-3（不符合题意，舍），即P（-2，3）．
PA=3-（-1）=4，4÷1=4，即当t为4秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形；
Ⅱ当PD=CD时，（b-3）²+4=10，解得b=$\sqrt{6}$+3，b=-$\sqrt{6}$+3，即P₁（-2，3+$\sqrt{6}$），P₂（-2，3-$\sqrt{6}$）．
P₁A=4+$\sqrt{6}$，（4+$\sqrt{6}$）÷1=（4+$\sqrt{6}$）秒；P₂A=4-$\sqrt{6}$，（4-$\sqrt{6}$）÷1=（4-$\sqrt{6}$）秒，
当t为（4+$\sqrt{6}$）秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形，当t为（4-$\sqrt{6}$）秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形；
综上所述：当t为4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
故答案为：2；4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$；
（3）存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形．
CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PC=$\sqrt{（-2+1）^{2}+{b}^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$．
PD²+PC²=CD²，
即b²+1+（b-3）²+4=10，
解得b=1或b=2．
即P（-2，1），（-2，2）．
存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形，点P的坐标（-2，1），（-2，2）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求图象与坐标轴交点的关键；利用两点之间线段最短得出P在BD上是解题关键；利用等腰三角形得出关于b的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用了勾股定理得逆定理得出关于b的方程．