已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β，求
①以α3、β3为根的一元二次方程；
②若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有这样的一元二次方程．
分析：①欲求以α
3、β
3为根的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可知所求方程是x
2-（α
3+β
3）x+α
3β
3=0．先由已知条件得出α+β=p，αβ=q，再运用立方和公式、积的乘方的运算性质用含p、q的代数式分别表示α
3+β
3，α
3β
3即可；
②由于①中所求方程即为x
2-px+q=0，则得方程组
，解此方程组，即可求出p、q的值，再舍去无实根的方程，从而求出问题的解．
解答：解：①∵方程x
2-px+q=0的两根为α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α
3+β
3=（α+β）（α
2-αβ+β
2）=（α+β）
3-3αβ（α+β）=p
3-3pq，
α
3β
3=（αβ）
3=q
3，
∴以α
3、β
3为根的一元二次方程为x
2-（p
3-3pq）x+q
3=0；
②由题意，得
，
由q
3=q，得q=0，q=±1，
当q=0时，p
3=p，p=0，±1；
当q=1时，p
3=4p，p=0，±2；
当q=-1时，p
3=-2p，p=0．
∵当p=0，q=1时，方程x
2+1=0无实根，
∴满足条件的方程有x
2=0；x
2-x=0；x
2+x=0；x
2-2x+1=0；x
2+2x+1=0；x
2-1=0．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，立方和公式，积的乘方的运算性质，高次方程的解法．其中立方和公式，解高次方程属于竞赛题型，有一定难度．
