Question

如图的双曲线是函数y=-

2

x

(x＜0)和y=

4

x

(x＞0)的图象，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：
①△OPQ的面积为定值；
②x＞0时，y随x的增大而增大；
③MQ=2PM；
④x＜0时，y随x的增大而增大．
其中的正确结论是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：①由PQ∥x轴，根据反比例函数的几何意义，可求得S_△OPM=1，S_△OMQ=2，则可得S_△OPQ=S_△OPM+S_△OMQ=3；
②观察图象可得：x＞0时，y随x的增大而减小；
③由S_△OPM=

1

2

OM•PM=1，S_△OMQ=

1

2

OM•MQ=2，即可求得MQ=2PM；
④观察图象可得：x＜0时，y随x的增大而增大．

解答：解：①∵PQ∥x轴，
∴PQ⊥y轴，
∵点P与Q分别在函数y=-

2

x

(x＜0)和y=

4

x

(x＞0)的图象上，
∴S_△OPM=1，S_△OMQ=2，
∴S_△OPQ=S_△OPM+S_△OMQ=3；故正确；

②x＞0时，y随x的增大而减小，故错误；

③∵S_△OPM=

1

2

OM•PM=1，S_△OMQ=

1

2

OM•MQ=2，
∴PM：MQ=1：2，
即MQ=2PM，故正确；

④x＜0时，y随x的增大而增大．故正确．
故选D．

点评：此题考查了反比例函数的几何意义、增减性以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．