Question

19．发现：
（1）将点A（2，8）向右平移1个单位，再向下平移2个单位的到点A₁，则点A₁的坐标为（3，6）；将点B（m，n）向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B₁，则点B₁的坐标为（m+1，n-2）；
（2）将抛物线L：y=2x²向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线L₁，则L₁的解析式为y=2（x-1）²-2；
（3）点A在（填“在”或“不在”）抛物线L上，点A₁在（填“在”或“不在”）抛物线L₁上；
（4）如果点B在抛物线L上，求证：点B₁在抛物线L₁上；
应用：
（1）直线y=3x+1向右平移3个单位后的直线的解析式为y=3x-8；
（2）直线y=-2x+6可以看作是过原点的直线y=-2x向上（填“上”或“下”）平移6个单位得到；也可以看作是过原点的直线y=-2x的图象向右（填“左”或“右”）平移3个单位得到；
拓展：如图，点B、C、D在x轴上，C（-1，0），D（-3，0），AO=AB，且S_△AOB=6．
（1）求过点A的双曲线的解析式；
（2）将（1）中双曲线向下平移1个单位，向左平移m个单位后与x轴的交点在线段CD上，求m的取值范围；
（3）说明双曲线y=$\frac{2x+3}{x-1}$是由哪条双曲线经过怎样的平移得到的？

Answer 1

分析 发现：
（1）根据点的平移规律：向右平移→横坐标+，向下平移→纵坐标-，得结论；
（2）根据抛物线的平移规律（上→+，下→一，左→+，右→一）得出结论；
（3）分别将两点代入抛物线的解析式中，符合则在，不符合则不在；
（4）将点B的坐标代入抛物线L的解析式中得：2m²=n，再将B₁的横坐标代入抛物线L₁中，看y是否等于n-2；
应用：
（1）先计算直线y=3x+1与x轴的交点，得到新的直线与x轴的交点，因为平行，k相等，可设新直线的解析式，将所得（$\frac{8}{3}$，0）代入可求得新的解析式；
（2）根据一次函数的平移规律得出结论；
拓展：
（1）设A（a，b），则AE=b，根据三角形面积为6列式可得：ab=6，得解析式即可；
（2）类比一次函数的平移规律：上下移→直接加减，左右移→在自变量加减；得结论；
（3）将反比例函数变形得：y=$\frac{2x+3}{x-1}$=$\frac{2（x-1）+5}{x-1}$=2+$\frac{5}{x-1}$，由移位规律得结论．

解答 解：（1）由平移得：A₁（2+1，8-2），即（3，6），
B₁（m+1，n-2），
故答案为：（3，6）；（m+1，n-2）；

（2）将抛物线L：y=2x²向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线L₁，
则L₁的解析式为：y=2（x-1）²-2；
故答案为：y=2（x-1）²-2；

（3）当x=2时，y=2×2²=8，
所以点A（2，8）在抛物线L上，
当x=3时，y=2×（3-1）²-2=6，
∴所以点A₁（3，6）抛物线L₁上；
故答案为：在；在；

（4）∵点B在抛物线L上，
∴2m²=n，
当x=m+1时，y=2（m+1-1）²-2=2m²-2=n-2，
∴点B₁在抛物线L₁上；

应用：
（1）如图1，当y=0时，3x+1=0，
x=-$\frac{1}{3}$，
∴直线y=3x+1与x轴的交点为A（-$\frac{1}{3}$，0），则平移后的直线与x轴的交点为（-$\frac{1}{3}$+3，0），即（$\frac{8}{3}$，0），
设平移后的直线的解析式为：y=3x+b，
把（$\frac{8}{3}$，0）代入得：0=3×$\frac{8}{3}$+b，
b=-8，
∴平移后的直线的解析式为：y=3x-8，
故答案为：y=3x-8；

（2）直线y=-2x+6可以看作是过原点的直线y=-2x向上平移6个单位得到；
∵y=-2x+6=-2（x-3），
∴也可以看作是过原点的直线y=-2x的图象向右平移3个单位得到；
故答案为：y=-2x；上；6；y=-2x；右；3；

拓展：
（1）如图2，过A作AE⊥OB于E，
设A（a，b），则AE=b，
∵AO=AB，
∴OB=2OE=2a，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AE=$\frac{1}{2}$•2a•b=6，
∴ab=6，
∴过点A的双曲线的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；

（2）由题意得：平移后的双曲线为：y=$\frac{6}{x+m}-1$，
令y=0，则0=$\frac{6}{x+m}-1$，得，x=6-m，
∵与x轴的交点在线段CD上，
∴-3≤6-m≤-1，
∴7≤m≤9；

（3）∵y=$\frac{2x+3}{x-1}$=$\frac{2（x-1）+5}{x-1}$=2+$\frac{5}{x-1}$，
∴y=$\frac{2x+3}{x-1}$是由y=$\frac{5}{x}$向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的．

点评 本题是函数的综合题，考查了点、一次函数、反比例函数、二次函数平移问题，熟练掌握平移的原则是关键，注意一次函数与反比例函数平移的规律类似．