已知A1.A2.A3是抛物线y=x2上的三点.A1B1.A2B2.A3B3分别垂直于x轴.垂足为B1.B2.B3.直线A2B2交线段A1A3于点C．(1)如图.若A1.A2.A3三点的横坐标依次为1.2.3.求线段CA2的长,(2)如图.若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2-x+1.A1.A2.A3三点的横坐标为连续整数.其他条件不变.求线段CA2的长,(3)若将抛物线y=x2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2005•大连）已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=

x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=

x²改为抛物线y=

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

【答案】分析：（1）A₁、A₂、A₃是抛物线y=

x²上的三点，A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A₁A₃的解析式．求出直线B₂A₂与A₁A₃的交点坐标，进而求出A₂C的长．
（2）设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，可以采用与第一问相同的方法解决．
解答：解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=

×1²=

，A₂B₂=

×2²=2，A₃B₃=

×3²=

（1分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴

解得

∴直线A₁A₃的解析式为y=2x-

，
∴CB₂=2×2-

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

-2=

．（3分）
方法二：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=

×1²=

，A₂B₂=

×2²=2，A₃B₃=

×3²=

（1分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

（A₁B₁+A₃B₃）=

（

）=

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

-2=

．（3分）

（2）方法一：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A₁B₁=

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

n²-n+1，
A₃B₃=

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴

（5分）
解得

，（6分）
∴直线A₁A₃的解析式为y=（n-1）x-

n²+

．（7分）
∴CB₂=n（n-1）-

n²+

n²-n+

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

n²-n+

n²+n-1=

（9分）
方法二：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A₁B₁=

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

n²-n+1，
A₃B₃=

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

（A₁B₁+A₃B₃）（6分）
=

[

（n-1）²-（n-1）+1+

（n+1）²-（n+1）+1]（7分）
=

n²-n+

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

n²-n+

-（

n²-n+1）=

．（9分）

（3）当a＞0时，CA₂=a；
当a＜0时，CA₂=-a．（12分）
点评：本题主要考查了函数图象上的点与解析式的关系，点在图象上，就一定满足函数的解析式．

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