Question

31、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

Answer 1

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

解答：证明：方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB=CD．

方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠ABE=∠D，
∴∠F=∠D．
∴CF=CD．
∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．
∴AB=CD．

方法三：延长DE至点F，使EF=DE．
又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF=CD，∠D=∠F．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF．
∴AB=CD．

点评：主要考查辅助线的添加及全等三角形的判定方法的掌握，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．