Question

已知二次函数y=x²-kx+k-5．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式；
（3）若（2）中的二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于点C；D是第四象限函数图象上的点，且OD⊥BC于H，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数与二次方程的对应关系，可判断出二次方程x²-kx+k-5=0有两个不同的根，易得此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）根据对称轴的方程易得k的值，将k的值代入可得解析式；
（3）根据解析式，易得ABC的坐标，进而可得BC的斜率，根据垂直的判定方法，可得OD的斜率，解可得x的值，即可得D的坐标．

解答：（1）证明：对于二次方程：x²-kx+k-5=0，
有△=（-k）²-4k+20=k²-4k+4+16=（k-2）²+16＞0；
可得其必有两个不相等的根；
故无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．

（2）解：若此二次函数图象的对称轴为x=1，
则对称轴的方程为-

1

2

（-k）=1，k=2；
易得它的解析式为y=x²-2x-3．

（3）解：若函数解析式为y=x²-2x-3；
易得其与x轴的交点坐标为A（-1，0）B（3，0）；
与y轴的交点C的坐标为（0，-3）；
BC的解析式为：y=x-3；
设D的坐标为（x，x²-2x-3），由OD⊥BC，图象过（0，0），则OD的解析式为：y=-x，
易得x²-2x-3=-x；
故x=

13 +1

2

，
解可得D的坐标为（

13 +1

2

，-

13 +1

2

）

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．