Question

28、已知等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x²-（2k+2）x+4k=0的两个根．求△ABC的周长．

Answer 1

分析：先利用因式分解法求出两根：x₁=2，x₂=2k．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．

解答：解：x²-（2k+2）x+4k=0，
整理得（x-2）（x-2k）=0，
∴x₁=2，x₂=2k，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k，
解得k=1，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k=4，
解得k=2，此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反过来可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．