如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式;
②(附加题)求S的最大值.
(1);(2)①;
②当0≤t≤6时,S的最大值为;
当6≤t≤8时,S的最大值为;
当8≤t≤10时,S的最大值为;
所以当t=8时,S有最大值为.
【解析】
试题分析:(1)在三角形AEP中,AP=2,∠A=60°,利用三角函数可求出AE和PE,即可求出面积;
(2)①此题应分情况讨论,因为两个动点运动速度不同,所以有点P与点Q都在AB上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况,在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值,进而求解.
②在①的基础上,首先①求出函数关系式之后,根据t的取值范围不同函数最大值也不同.
(1) 当点P运动2秒时,AP=2 cm,由∠A=60°,知AE=1,PE=.
∴ SΔAPE=.
(2) ① 当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,QF=,AP=t+2,AG=1+,PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,DF=4-,QF=,BP=t-6,CP=10-t,PG=,
而BD=,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则CQ=20-2t,QF=(20-2t),CP=10-t,PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
故S关于t的函数关系式为
②(附加题)当0≤t≤6时,S的最大值为;
当6≤t≤8时,S的最大值为;
当8≤t≤10时,S的最大值为;
所以当t=8时,S有最大值为.
考点:本题考查的是二次函数的应用
点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
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A、AC⊥BD |
B、四边形ABCD是菱形 |
C、△ABO≌△CBO |
D、AC=BD |
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