【题目】如图1,△ABC为等边三角形,点E、F分别在BC和AB上,且CE=BF,AE与CF相交于点H.
(1)求证:△ACE≌△CBF;
(2)求∠CHE的度数;
(3)如图2,在图1上以AC为边长再作等边△ACD,将HE延长至G使得HG=CH,连接HD与CG,求证:HD=AH+CH
【答案】(1)证明见解析;(2)60°;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得:∠B=∠ACB=60°,BC=CA,然后利用“边角边”证明:△ACE和△CBF全等;
(2)根据全等三角形对应角相等可得:∠EAC=∠BCF,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理得到∠CHE=∠BAC;
(3)如图2,先说明△CHG是等边三角形,再证明△DCH≌△ACG,可得DH=AG=AH+HG=AH+CH.
解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,BC=CA,
即∠B=∠ACE=60°,
在△ACE和△CBF中,
∴△ACE≌△CBF(SAS);
(2)解:由(1)知:△ACE≌△CBF,
∴∠EAC=∠BCF,
∴∠CHE=∠EAC+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=60°;
(3)如图2,由(2)知:∠CHE=60°,
∵HG=CH,
∴△CHG是等边三角形,
∴CG=CH=HG,∠G=60°,
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=CD,∠ACD=60°,
∵△ACE≌△CBF,
∴∠AEC=∠BFC,
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF=60°+∠ACF,
∠AEC=∠G+∠BCG=60°+∠BCG,
∴∠ACF=∠BCG,
∴∠ACF+∠ACD=∠BCG+∠ACB,
即∠DCH=∠ACG,
∴△DCH≌△ACG,
∴DH=AG=AH+HG=AH+CH.
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【题目】如图,是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:
甲:连接AC,作AC的中垂线交AD、BC于E、F,则四边形AFCE是菱形. | 乙:分别作与的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形. |
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
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【题目】如图1,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)如图2,直线BO与⊙O交于点D,E,若BD=4,AB=16,求AE的长.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是
A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(0,3)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
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【题目】计算
(1)12-(-18)+(-7)-15
(2)(-2.7)+(+1)-(-6.7)+(-1.6)
(3)20+(-14)-(-18)-13
(4)81÷|-2|×
(5)
(6)-14-(1-0.5×)×(2-23)
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【题目】如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值).
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【题目】把下列各数填入相应集合的括号内
+8.5, 0, -3.4, 12, -9, , 3.1415, -1.2,,
(1)正数集合 { }
(2)整数集合 { }
(3)负分数集合 { }
(4)非正整数集合{ }
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