Question

（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；
（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S_{四边形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，代入求出即可；图2中，S_{四边形OBNP}=S_△POB+S_△PBN，代入求出即可．

解答：（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD=∠DOC=90°，
∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，
∴∠CPD=∠CNB，
∵DC∥AB，
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中

∠DCB=∠CBN ∠CPD=∠BNC DC=BC

，
∴△DCP≌△CBN（AAS），
∴CP=BN，
∵在△OBN和△OCP中

OB=OC ∠OCP=∠OBN CP=BN

，
∴△OBN≌△OCP（SAS），
∴ON=OP，∠BON=∠COP，
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，
即∠NOP=∠BOC=90°，
∴ON⊥OP，
即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，
∴O到BC边的距离是2，
图1中，S_{四边形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，
=

1

2

×（4-x）×2+

1

2

×x×2，
=4（0＜x＜4），
图2中，S_{四边形OBNP}=S_△POB+S_△PBN
=

1

2

×x×2+

1

2

×（x-4）×x
=

1

2

x²-x（x＞4），
即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：

y=4(0＜x＜4) y= 1 2 x2-x(x＞4)

．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．