【题目】如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．
（参考数据sin75°=
，sin15°=
）
【答案】（1）
；
；
（2）
；
（3）
【解析】
试题根据直角三角形的勾股定理分别求出AD和DC的长度；过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF，根据∠ACD=60°，∠ACB=45°得出∠NCF=75°，∠FNC=15°，设NC=x，根据sin15°的值得出FC的值，则得出NE、DF的长度，从而得出点N到AD的距离；根据sin75°得出FN的长度，根据PD和CP的长度得出PF的长度，从而得出y与x的函数关系式，然后根据二次函数的最值求法求出最大值.
试题解析：（1）；；
（2）如图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，
∴∠NCF=75°，∠FNC=15°， ∴sin15°=
，又NC=x， ∴
，
∴NE=DF=. ∴点N到AD的距离为cm；
（3）∵sin75°=
，∴
， ∵PD=CP=
，
∴PF=
，
∴
·
即
，
当
=
时，y有最大值为
.
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【题目】如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若菜园面积为384 m2，求x的值；
(3)求菜园的最大面积.
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【题目】某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选中其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
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【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以
cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC
CB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】数学课上，潘老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“垂美三角形”，这条边称为这个三角形的“垂美边”.
概念理解:
(1)如图①，已知∠A＝90°，AB＝AC，请证明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.
探索运用:
(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”，请求出顶角的度数.
能力提升：
(3)如图②，在直角坐标系中，点A为x轴正半轴上动点，在反比例函数
的图象上是否存在点B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”，若存在，请求出点B的坐标.
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【题目】大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在一次函数关系如表：
销售价x（元/件） | … | 110 | 115 | 120 | 125 | 130 | … |
销售量y（件） | … | 50 | 45 | 40 | 35 | 30 | … |
若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其它费用为200元（不包括集资款）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）
（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？
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