Question

17．已知x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，求$\frac{{x}^{3}+x+1}{{x}^{5}}$的值．

Answer 1

分析 根据x的值先求得x²、x³、x⁴、x⁵的值，再代入即可．

解答 解：∵x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴x²=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$，
∴x³=x²×x=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$×$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=2+$\sqrt{5}$，
∴x⁴=x³×x=（2+$\sqrt{5}$）×$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$，
x⁵=x⁴×x=$\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{{x}^{3}+x+1}{{x}^{5}}$=$\frac{2+\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1}{\frac{11+5\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{7+3\sqrt{5}}{11+5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}-2}{125-121}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，先把x²、x³、x⁴、x⁵求出来是解题的关键．