Question

15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．解答下列问题：
（1）求出直线BB′的函数解析式；
（2）直线BB'与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点C、M、N，求抛物线的函数解析式；
（3）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）易得点B、点B′的坐标，然后运用待定系数法可求出直线BB′的解析式；
（2）由直线BB′的解析式从而求出点M、N的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（3）设OP与直线MN交于点H，过点P作PG⊥y轴于点G，如图2，运用等积法可求出OP的长，然后运用相似三角形的性质就可求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题．

解答 解：（1）由题意得，B（-1，3），B'（3，1）
∴直线BB'的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
（2）直线BB'与x轴的交点为M（5，0），与y轴的交点N（0，$\frac{5}{2}$），
设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
∵抛物线过点N，∴$\frac{5}{2}=a×（{-5}）×1$，
∴$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}（{x-5}）（{x+1}）$=$-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$；
（3）点P不在抛物线上．
理由如下：
如右图，设OP与直线MN交于点H，过点P作PG⊥y轴于点G，由题可得OP⊥MN，OP=2OH，
∴∠PGO=∠OHN=90°
在Rt△MON中，
∵OM=5，ON=$\frac{5}{2}$，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$
∴OH=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=2OH=2$\sqrt{5}$，
∵∠NOM=90°，∠OHN=90°，
∴∠NOH=90°-∠HOM=∠OMN．
又∵∠PGO=∠NOM=90°，
∴△PGO∽△NOM，
∴$\frac{PG}{ON}=\frac{OG}{MO}=\frac{OP}{MN}$，
∴$\frac{PG}{\frac{5}{2}}=\frac{OG}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{5}$，
∴PG=2，OG=4，
∴点P的坐标为（2，4），
当x=2时，y=$\frac{9}{2}$≠4，
∴点P不在抛物线上．

点评 本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，有一定综合性，但难度不大．运用面积法和相似三角形的性质是解决第（3）小题的关键．