Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE交对角线BD于点F，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AG，连接EG，交对角线BD于点H，连接AH．

（1）根据题意补全图形；

（2）判断AH与EG的位置关系，并证明；

（3）若AB=2，设BE=x，BH=y，直接写出y关于x的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）AH垂直平分EG，证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据旋转的定义、线段的画法补全图形即可；

（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、旋转的性质、角的和差得出，，，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得点共线，又根据平行线的性质、等腰直角三角形的性质得出，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等腰三角形的三线合一即可得；

（3）先根据正方形的性质得出，再根据等腰直角三角形的性质得出，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据线段的和差即可得出结论．

（1）根据旋转的定义、线段的画法补全图形如下：

（2）AH垂直平分EG，证明如下：

如图，连接DG

由旋转的性质可知，

四边形ABCD是正方形

，，

在和中，

点共线

过点E作，交BD于点M

，

是正方形ABCD的对角线

是等腰直角三角形，且

在和中，

，即点H为EG的中点

是等腰三角形

（等腰三角形的三线合一）

综上，AH垂直平分EG；

（3）由正方形的性质得：

由（2）可知，是等腰直角三角形，且

又由（2）可知，

即．