Question

18．已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．
（1）求证：FG=DE．
（2）求证：FD+EG≥$\sqrt{2}$FG．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM∥FG交BC于M，如图，由四边形AMGF为平行四边形得到AM=FG，再利用等角的余角相等得到∠ADE=∠BAM，则可证明△ABM≌△DAE，于是得到AM=DE，所以DE=FG；
（2）过点F作FN∥DE，过E点作EN∥AD，它们相交于点N，如图，易得四边形DFNE为平行四边形，所以DF=EN，FN=DE，再证明△FNG为等腰直角三角形，则NG=$\sqrt{2}$FG，然后利用三角形三边的关系
得到EN+EG≥NG（当点N、E、G共线时取等号），于是有DF+EG≥$\sqrt{2}$FG．

解答 证明：（1）过点A作AM∥FG交BC于M，如图，则四边形AMGF为平行四边形，
∴AM=FG，
∵DE⊥FG，
∴DE⊥AM，
∴∠ADE=∠BAM，
在△ABM和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠ADE}\\{AB=DA}\\{∠ABM=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DAE，
∴AM=DE，
∴DE=FG；
（2）过点F作FN∥DE，过E点作EN∥AD，它们相交于点N，如图，则四边形DFNE为平行四边形，则DF=EN，FN=DE，
∵DE⊥FG，
∴FN⊥FG，
∴∠NFG=90°，
∵DE=FN，DE=FG，
∴FG=FN，
∴△FNG为等腰直角三角形，
∴NG=$\sqrt{2}$FG，
而EN+EG≥NG（当点N、E、G共线时取等号），
∴DF+EG≥$\sqrt{2}$FG．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构建△ENG，利用三角形三边的关系解决（2）小题．