Question

【题目】如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．

（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；

（2）在旋转过程中，当点B、G、F三点在同一直线上，若AB=5，CE=3，则MF=　　　　；

（3）在旋转过程中，当点G在对角线AC上时，连接DG、MG，请你画出图形，探究DG、MG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）DG=MG，理由见解析．

【解析】

(1)连接MG并延长交AB于N点，证明△ANM≌△FGM后得到MG=MN，AN=CG，进而得到BN=BG，得到△ANG为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.

(2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.

(3)先画出图形，然后证明△ADG≌△ABG，得到DG=BG，又△BMG为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=MG.

解：(1) 连接MG并延长交AB于N点，如下图所示：

∵GF∥AN，

∴∠NAM=∠GFM

在△ANM和△FGM中

，∴△ANM≌△FGM(ASA)

∴MG=MN，CG=GF=AN

∴AB-AN=BC-CG

∴NB=GB

∴△NBG为等腰直角三角形

又M是NG的中点

∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：

故有：MG=MB.

(2)分类讨论：

情况一：当B、G、F三点在正方形ABCD外同一直线上时

延长MG到N点，并使得MG=MN，连接AN，BN

∴，∴△AMN≌△FMG(SAS)

∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM

∴AN∥GF

∴∠NAB+∠ABG=180°

又∠ABC=90°

∴∠NAB+∠CBG=90°

又在△BCG中，∠BCG+∠CBG=90°

∴∠NAB=∠BCG

∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)

∴BN=BG，∠ABN=∠CBG

∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°

在Rt△BCG中，

过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形

∴MH=BH=HG=BG=2

在Rt△MFH中，

情况二：当B、G、F三点在正方形ABCD内同一直线上时

如下图所示，延长MG到MN，并使得MG=MN，连接NA、NB，

同情况一中证明思路，

，△AMN≌△FMG(SAS)

∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM

∴AN∥GF

∴∠NAB=∠ABG

又∠ABG+∠GBC=90°

∠GBC+∠BIF=90°

∴∠BIF=∠ABG

又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB

∴∠NAB=∠GCB

∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)

∴BN=BG，∠ABN=∠CBG

∴∠ABC=∠NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°

在△BCG中，

过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形

∴MH=BH=HG=BG=2

∴HF=HG-GF=2-1=1

在Rt△MFH中，

故答案为：或

(3)由题意作出图形如下所示：

DG、MG的数量关系为：DG=MG，理由如下：

∵G点在AC上

∴∠DAG=∠BAG=45°

在△ADG和△ABG中：

，∴△ADG≌△BAG(SAS)

∴DG=BG

又由(2)中的证明过程可知：△MBG为等腰直角三角形

∴BG=MG

∴DG=MG

故答案为：DG=MG.