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25、如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:BP=DP;
(2)如图2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论.
分析:(1)由正方形的性质可证△ABP≌△ADP,即BP=DP;
(2)当四边形PECF的点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立;
(3)由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC,即BE=DF.
解答:解:(1)解法一:在△ABP与△ADP中,
∵AB=AD∠BAC=∠DAC,AP=AP,
∴△ABP≌△ADP,
∴BP=DP.(2分)
解法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.(2分)

(2)不是总成立.(3分)
当四边形PECF的点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立,(5分)
说明:未用举反例的方法说理的不得分.

(3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等,(6分)
在图1中,由正方形ABCD可证:
AC平分∠BCD,
∵PE⊥BC,PF⊥BD,
∴PE=PF,∠BCD=90°,
∴四边形PECF为正方形.(7分)
∴CE=CF,
∵∠DCF=∠BCE,
BC=CD,
∴△BEC≌△DFC,
∴BE=DF.(8分)
点评:本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定,以及正方形的性质.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知直线y=2x(即直线l1)和直线y=-
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x+4(即直线l2),l2与x轴相交于点A.点P从原点O出发,向x轴的正方向作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时点Q从A点出发,向x轴的负方向作匀速运动,速度为每秒2个单位.设运动了t秒.
(1)求这时点P、Q的坐标(用t表示).
(2)过点P、Q分别作x轴的垂线,与l1、l2分别相交于点O1、O2(如图1).以O1为圆心、O1P为半径的圆与以O2为圆心、O2Q为半径的圆能否相切?若能精英家教网,求出t值;若不能,说明理由.(同学可在图2中画草图)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时,该抛物线取最大值?该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=
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时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5?若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•淮滨县模拟)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=2秒时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•湖州)如图1,已知菱形ABCD的边长为2
3
,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(-
3
,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<
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①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图l,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点D,顶点的坐标为(2,4).直角三角形ABC的顶点A与点O重合,AC,AB分别在x轴,y轴上,且AC=3,AB=4.
(1)直线BC的解析式为
y=
4
3
x+4
y=
4
3
x+4

(2)求该抛物线的函数关系式;
(3)将直角三角形ABC以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤2),AB边与该抛物线的交点为Q(如图2所示).
①设△CPQ的面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
②直接写出直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值.

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