Question

如图1，AB为⊙O的直径，C为

BD

的中点，CE⊥AD于E，
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）在如图2中，若sin∠BCF=

1

2

，求tan∠AEO．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）由C为弧BD的中点，得到两条弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AE平行，根据AE垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得证；
（2）连接BC，OE，过O作OG⊥AE，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形EGOC为矩形，利用矩形的对边相等得到EC=OG，EG=OC=OA，根据已知等式利用特殊角的三角函数值求出∠BCF的度数，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BAC的度数，确定出∠EAB的度数，利用锐角三角函数定义表示出tan∠AEO，等量代换得到tan∠AEO=sin∠EAB，求出即可．

解答：（1）证明：∵C为弧BD的中点，
∴

CD

=

BC

，
∴∠EAC=

1

2

∠BOC，
∴∠EAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，
则CE为圆O的切线；
（2）解：连接BC，OE，过O作OG⊥AE，
∵∠OGE=∠AEF=∠OCE=90°，
∴四边形EGOC为矩形，
∴EC=OG，EG=OC=OA，
∵sin∠BCF=

1

2

，
∴∠BCF=∠CAF=30°（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
∴∠EAC=∠CAF=30°，即∠EAF=60°，
在Rt△OEG和Rt△AOG中，
tan∠AEO=

OG

EG

=

OG

OC

=

OG

OA

=sin∠EAF=sin60°=

3

2

．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．