Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（4

3

，0），作点A关于直线y=kx（k＞0）的对称点P，△POB为等腰三角形，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：点A关于直线y=kx（k＞0）的对称点为P，则y=kx为AP垂直平分线，由此可得OP=OA=4，然后分BP=BO，OB=OP，PO=PB分类讨论，得出P坐标．

解答：解：∵矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（4

3

，0），
∴OA=4，OB=4

3

，
∵点P关于直线y=kx（k＞0）与点A对称，
∴OP=OA=4，
∵△POB为等腰三角形
∴BP=BO，OP=PB，OB=OP（不成立，因为OA=4，OB=4

3

）
当BP=BO=4

3

时，如图，

作PH⊥OB，BG⊥OP垂足分别为H、G，
∴OG=PG=

1

2

OP=2
∴BG=

BP2-PG2

=2

11

∵

1

2

×OP×BG=

1

2

×OB×PH
即4×2

11

=4

3

×PH
∴PH=

2 33

3

∴OH=

OP2-PH2

=

2

3

3

，
∴点P坐标为（

2

3

3

，

2 33

3

）
当OP=PB=4时，如图，

作PF⊥OB垂足为F
∴OF=FB=

1

2

OB=2

3

∴PF=

OP2-OF2

=2
∴点P坐标为（2

3

，2）；
同理，当点P在第四象限时，点P坐标为（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．
综上所知点P坐标为（

2

3

3

，

2 33

3

）或（2

3

，2）或（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．
故答案为：（

2

3

3

，

2 33

3

）或（2

3

，2）或（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．

点评：此题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及关于直线对称的性质，注意分类讨论思想的渗透．