Question

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F．设AD=a，AB=b，BC=c．
（1）若∠ABE=30°，AE=3．请写出BE的长度；
（2）求证：△ABP∽△BFE；
（3）当四边形EFCD为平行四边形时．试求出a、b、c的数量之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）由AD与BC平行，且AB垂直于BC，得到BA垂直于AD，在直角三角形ABE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到BE=2AE，即可求出BE的长；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEP，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABP=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAP=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
（3）根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；

解答 （1）解：∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴BA⊥AD，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AE=3，
∴BE=2AE=6；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EPB，
∴∠AEB=∠BEP，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形，
∵∠ABP+∠PBF=90°，∠PBF+∠EFB=90°，
∴∠ABP=∠EFB，
在等腰△ABP和△FEB中，∠BAP=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABP），∠FBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠EFB），
∴∠BAP=∠FBE，
∴△ABP∽△BFE；
（3）解：∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
∴∠EFB=∠C，∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠EFB，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{DB}{CB}$，即$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，
∴a²+b²=ac．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．