Question

2．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．
（1）当AE=4时，求AF的长；
（2）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）先证△BDE∽△CFD，得出对应边成比例，求出CF的长，即可得出结果；
（2）取边AC中点O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，过点A作AH⊥BC于H，连接OD，则CH=$\frac{1}{2}$BC=6，由⊙O和线段DE相切，得出OG=$\frac{1}{2}$AC=5，求出cosC=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{3}{5}$，CQ=COcosC=3，DQ=BC-BD-CQ=5，得出OG=DQ，由HL证得Rt△OGD≌Rt△DQO，得出∠GOD=∠QDO，OG∥BC，∠EDB=∠OGD=90°，由cosB=$\frac{BD}{BE}$=cosC=$\frac{3}{5}$，即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴△CDF∽△BED，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{CD}{BE}$，即$\frac{CF}{4}=\frac{12-4}{10-4}$，
解得：CF=$\frac{16}{3}$，
∴AF=AC-CF=10-$\frac{16}{3}$=$\frac{14}{3}$；
（2）取边AC中点O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，过点A作AH⊥BC于H，连接OD，如图所示：
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵⊙O和线段DE相切，
∴OG=$\frac{1}{2}$AC=5，
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△CQO中，∠CQO=90°
∵cosC=$\frac{CQ}{CO}$，
∴CQ=COcosC=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴DQ=BC-BD-CQ=12-4-3=5，
∴OG=DQ，
在Rt△OGD与Rt△DQO中，$\left\{\begin{array}{l}{OG=DQ}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△OGD≌Rt△DQO（HL），
∴∠GOD=∠QDO，
∴OG∥BC，
∴∠EDB=∠OGD=90°，
∴cosB=$\frac{BD}{BE}$=cosC=$\frac{3}{5}$，
∴BE=$\frac{4}{\frac{3}{5}}$=$\frac{20}{3}$，
∴当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE=$\frac{20}{3}$．

点评 此题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的性质、三角函数是解决问题的关键．