Question

【题目】如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴的的正半轴上，连接，且，．

（1）求点的坐标；

（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；

（3）求所在直线的函数表达式，并求出对角线与折痕交点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（8，0），C（0，4）；（2）10；（3）y=2x-6，（4，2）

【解析】

（1）设OC=a，则OA=2a，在直角△AOC中，利用勾股定理即可求得a的值，则A和C的坐标即可求得；

（2）重叠部分是△CEF，利用勾股定理求得AE的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；

（3）根据（1）求得AC的表达式，再由（2）求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式，联立可得点D坐标.

解：（1）∵，

∴设OC=a，则OA=2a，
又∵，即a2+（2a）2=80，
解得：a=4，
则A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，4）；

（2）设AE=x，则OE=8-x，如图，

由折叠的性质可得：AE=CE=x，

∵C的坐标是（0，4），

∴OC=4，
在直角△OCE中，42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，

∴CF=AE=5，
则重叠部分的面积是：×5×4=10；

（3）设直线EF的解析式是y=mx+n，

由（2）可知OE=3，CF=5，

∴E（3，0），F（5，4），

∴，

解得：，

∴直线EF的解析式为y=2x-6，

∵A（8，0），C（0，4），

设AC的解析式是：y=px+q，

代入得：，

解得，

∴AC的解析式是：，

联立EF和AC的解析式：，

解得：，

∴点D的坐标为（4，2）.