Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）梯形ABCN的面积是否可能等于11？为什么？

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，再由AM与MN垂直得到∠AMN为直角，根据平角的定义得到一对角互余，再由直角三角形ABM的两锐角互余得到一对角互余，根据同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，根据两对应角相等的两三角形相似可得证；
（2）由正方形的边长为4，BM=x，由BC-BM表示出MC，再由第一问得到的两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列出关系式，将AB，BM及MC代入，表示出NC，由NC与AB平行不相等，且角B为直角，可得出ABCN为直角梯形，根据梯形的面积公式表示出梯形的面积，可得出y与x的函数关系式；
（3）梯形ABCN的面积不可能等于11，理由为：假设能等于11，令第二问求出的函数解析式中y=11，得到关于x的方程，根据根的判别式小于0，得到此方程无解，故假设错误，梯形ABCN的面积不可能等于11．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，又∠B=∠C，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）∵BM=x，正方形的边长为4，
∴AB=4，MC=BC-BM=4-x，
又∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，
∴CN=

MC•BM

AB

=

x(4-x)

4

，
∵NC∥AB，NC≠AB，∠B=90°，
∴四边形ABCN为直角梯形，又ABCN的面积为y，
∴y=

1

2

（CN+AB）•BC=

1

2

（

x(4-x)

4

+4）×4=-

1

2

x²+2x+8（0＜x＜4）；

（3）梯形ABCN的面积不可能等于11，理由为：
假设梯形ABCN的面积等于11，
令y=11得：-

1

2

x²+2x+8=11，
整理得：x²-4x+6=0，
∵b²-4ac=（-4）²-24=-8＜0，
∴此方程无解，即假设错误，
则梯形ABCN的面积不可能等于11．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，以及不解方程，利用根的判别式判断方程解的情况，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．