【题目】已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距:
①半径为1的圆: ;
②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“: ;
(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
①若d=2,求点C所在的区域的面积;
②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
【答案】(1)2;②1+;(2)①π;②,.
【解析】
(1)①根据平面图形S的宽距定义可直接得出答案;②正方形ABCD的边长为2,设半圆的圆心为O,点P是⊙O上一点,连接OP,PC,OC,根据勾股定理可求出OC,从而得到答案;
(2)①如图2-1,点C所在的区域是图中,面积为;②如图2-2,当点M在y轴的右侧时,连接AM,作MT⊥x轴于T,求出d的值,即可判断,再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可.
解:(1)①半径为1的圆的宽距离为2,
故答案为2.
②如图1,正方形ABCD的边长为2,设半圆的圆心为O,点P是⊙O上一点,连接OP,PC,OC.
在Rt△ODC中,
∴OP+OC≥PC,
∴,
∴这个“窗户形“的宽距为.
故答案为1+.
(2)①如图2﹣1中,点C所在的区域是以AB为直径的圆,因为点A(﹣1,0)、B(1,0),所以此圆的半径为1,所以面积为π.
②如图2﹣2中,当点M在y轴的右侧时,连接AM,作MT⊥x轴于T.
∵AC≤AM+CM,又∵5≤d≤8,
∴当d=5时.AM=5-1=4,MT=2
∴,此时,
当d=8时.AM=8-1=7,MT=2
∴,此时,
∴满足条件的点M的横坐标的范围为.
当点M在y轴的左侧时,满足条件的点M的横坐标的范围为.
故答案为,.
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【题目】如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
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【题目】如图,正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上,顶点 C 在 y 轴的正半轴上,点 B 在双曲线 y ( x 0) 上,点 D 在双曲线 y ( x 0) 上,点 D 的坐标是 (3,3).
(1)求 k 的值
(2)求点 A 和点 C 的坐标
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【题目】△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D是平面内不与点A和点B重合的一点,连接DB,将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE,连接AE、BE、CD.
(1)如图①,点D与点A在直线BC的两侧,α=60°时,的值是 ;直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是 度;
(2)如图②,点D与点A在直线BC两侧,α=90°时,求的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角∠AMC的度数;
(3)当α=90°,点D在直线AB的上方,S△ABD=S△ABC,请直接写出当点C、D、E在同一直线上时,的值.
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【题目】如图,点P在⊙O外,PC是⊙O的切线,C为切点,直线PO与⊙O相交于点A、B.
(1)若∠A=30°,求证:PA=3PB;
(2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有∠BCP=(90°﹣∠P)成立.请你写出推理过程.
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【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,AC为⊙O的切线,OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于点E.
(1)求证:∠1=∠CAD;
(2)若AE=EC=2,求⊙O的半径.
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【题目】△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°
(1)如图1,点M是BA延长线上一点,连结CM,K是AC上一点,BK延长线交CM于N,∠MBN=∠MCA=15°,BK=8,求CM的长度;
(2)如图2,直线l经过点C,AF⊥l于点F,BE⊥l于点E,点D是AB的中点,连接ED,求证:AF=BE+DE;
(3)将图2中的直线l旋转到△ABC的外部,其他条件不变,请求出AF、BE、DE的关系.并写出必要的步骤.
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【题目】在矩形中,,,是射线上的一个动点,作,交射线于点,射线交射线于点,设,.
(1)如图,当在边上时(点与点、都不重合),求关于的函数解析式,并写出它的定义域;
(2)当时,求的长;
(3)当时,求的长.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α﹣β)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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