如图.函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与坐标轴交于A.B两点.在x轴上有点M(a.0).点N.P为直线AB上一动点．(1)∠ABO=60°,当△MPN为等边三角形时.a的值是2或2+$\sqrt{3}$,(2)当△MPN为直角三角形时.在图②中用尺规画出所有符合条件的点P(不写画法.保留作图痕迹),(3)当∠MPN=30°时.则a的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图，函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与坐标轴交于A、B两点，在x轴上有点M（a，0），点N（a-$\sqrt{3}$，0），P为直线AB上一动点．
（1）∠ABO=60°；当△MPN为等边三角形时，a的值是2或2+$\sqrt{3}$；
（2）当△MPN为直角三角形时，在图②中用尺规画出所有符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（3）当∠MPN=30°时，则a的取值范围为0≤a≤4+$\sqrt{3}$．

分析（1）先求出A、B两点坐标，求出tan∠ABO的值，即可解决问题．当△PMN是等边三角形时，分两种情形讨论点M的位置即可．
（2）分三种情形画出图形即可．
（3）如图③中，假设⊙O′经过点M、N，并且与直线AB相切，切点为P，∠MPN=30°，连接O′M，O′N，O′P，作OG⊥PN于G，PH⊥OB于H．想办法求出点M的位置，再根据对称性确定点M在直线AB右侧的位置即可解决问题．

解答解：（1）对于直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
令x=0则y=2$\sqrt{3}$，令y=0则x=2，
∴A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴OA=2$\sqrt{3}$，OB=2，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
如图①中，当M与B重合时，△PMN可能是等边三角形，此时a=2，
当点N与B重合时，△PMN可能是等边三角形，此时a=2+$\sqrt{3}$，
∴当△MPN为等边三角形时，a的值是2和2+$\sqrt{3}$．

故答案分别为60，2或2+$\sqrt{3}$．

（2）符合条件的点P如图所示，
．

（3）如图③中，假设⊙O′经过点M、N，并且与直线AB相切，切点为P，∠MPN=30°，连接O′M，O′N，O′P，作OG⊥PN于G，PH⊥OB于H．

∵∠MO′N=2∠MPN=60°，O′N=O′M，
∴△O′MN是等边三角形，
∴O′P=O′M=O′N=MN=$\sqrt{3}$，∠O′MN=∠ABO=60°，
∴AB∥O′M，
∵O′P⊥AB，
∴O′P⊥O′M，
∴∠PO′M=90′，
∴PM=$\sqrt{2}$O′P=$\sqrt{6}$，
∴∠PNM=$\frac{1}{2}$∠PO′M=45°，
∴GN=GM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，PG=$\sqrt{3}$GM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PN=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，
∴NH=PH=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$，BH=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴NB=NH+BH=2+$\sqrt{3}$，
∴BM=BN=MN=2+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2，
∴点M与点O重合，此时a=0，
当⊙O′在直线AB右侧时，同理可得BN=2，OM=4+$\sqrt{3}$，此时a=4+$\sqrt{3}$，
∴当∠MPN=30°时，则a的取值范围0≤a≤4+$\sqrt{3}$．
故答案为0≤a≤4+$\sqrt{3}$．

点评本题考查一次函数综合题、等边三角形的性质、直角三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

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