Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，D、E是AB边上的两个动点，满足∠DCE=45°．
（1）如图②，把△ADC绕着点C顺时针旋转90°，得到△BKC，连结EK．
①求证：△DCE≌△KCE．
②求证：DE2=AD2+BE2 ．
③思考与探究：当点D从点A向AB的中点运动的过程中，请尝试写出DE长度的变化趋势 ；并直接写出DE长度的最大值或最小值 （标明最大值或最小值）．
（2）如图③，若△CDE的外接圆⊙O分别交AC，BC于点F、G，求证：CF：CG=BE：AD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①如图1，由旋转得：△ACD≌△BCK，

∴CD=CK，∠ACD=∠BCK，

∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，

∴∠BCK+∠BCE=45°，

即∠KCE=45°，

∴∠KCE=∠DCE，

∵CE=CE，

∴△DCE≌△KCE（SAS）；

②如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△DCE≌△KCE，

∴DE=EK，∠KBC=∠A=45°，KB=AD，

∴∠KBE=45°+45°=90°，

在Rt△KBE中，KE2=BE2+KB2，

∴DE2=AD2+BE2；|当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；|DE最大值=1，DE最小值=2 ﹣2

③∵∠ACB=90°，AC=BC= ，

∴AB= =2，

设AD=x，DE=y，则BE=2﹣x﹣y，

当点D从点A向AB的中点运动的过程中，0≤y≤1，0≤x≤1，AD=BE时，DE最小，如图2，BE=BK=x，

则x=2﹣x﹣y，

y=2﹣2x，

∵KE2=BE2+KB2，

∴y2=x2+x2，

（2﹣2x）2=2x2，

x2﹣4x+2=0，

解得：x1=2+ （不符合题意，舍去），x2=2﹣ ，

∴y=2﹣2（2﹣ ）=2 ﹣2，

即DE的最小值是：2 ﹣2，

当D与A重合或D与AB的中点重合时，DE最大，最大值是1；

∴DE长度的变化趋势是：当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；

故答案为：当D从A到D时，DE越来越小，再继续运动到中点时，越来越大；DE最大值=1， ；

（2）如图3，把△ADC绕着点C顺时针旋转90°，得到△BKC，连结EK，EG，

∵D、C、E、G四点共圆，

∴∠EGB=∠CDE，

∵∠DCE=∠EBC=45°，

在△CDE和△GEB中，∴∠CED=∠GEB，

由①得：△CDE≌△CKE，

∴∠CED=∠CEK，

∴∠CEK=∠GEB，

∴∠CEK﹣∠GEK=∠GEB﹣∠GEK，

即∠CEG=∠KEB，

∵∠CEG=∠CFG，

∴∠CFG=∠KEB，

∵∠ACB=∠EBK=90°，

∴△FCG∽△EBK，

∴ ，

由①得：△ACD≌△BCK，

∴AD=BK，

∴CF：CG=BE：AD．

【解析】（1）①由旋转得：CD=CK，∠ACD=∠BCK，证明∠KCE=∠DCE=45°，根据SAS证明：△DCE≌△KCE；②先求∠KBE=45°+45°=90°，在Rt△KBE中，利用勾股定理可得结论；③如图2，本题可以看作是周长一定，即直角△EBK的周长为2，斜边DE的变化趋势，发现根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知：DE的大小取决于直角△EBK斜边中线的大小，当直角△EBK是等腰直角三角形（设两直角边分别为a、b时，斜边为 ，因为a2+b2≥2ab，当a=b时， 有最小值）时，中线最短，由此计算DE的最小值，当D与A重合或D与AB的中点重合时，DE最大，最大值是1；（2）如图3，同①作辅助线，证明△FCG∽△EBK，列比例式得 ，由①得：△ACD≌△BCK， AD=BK，所以CF：CG=BE：AD．