Question

【题目】如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　）

A. 3 B. 6 C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值．

连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM，PD，可得F为ED的中点．

∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED为等边三角形，∴AF为角平分线，即∠FAD=30°．在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3．在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：FD==，则DE=2FD=3．

故选D．