Question

8．小张自主创业销售一种进价为每件20元的新型节能产品，若在国内销售，销售价格y（元/件）与月销售量x（件）的函数关系如图所示．无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w₁（元）（利润=销售额-成本-广告费）．若在国外销售，销售价格为150元/件，受各种因素影响，成本（含进价）为40元/件，当月销量为x（件）时，每月还需缴纳$\frac{1}{100}$x²元的附加费，设月利润为w₂（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）分别求出w₁，w₂与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（2）若在国内销售，每月的销售量为多少时，小张不赚不赔？
（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮小张决策，选择在国内和国外销售各多少件才能使所获月利润最大？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式，再根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（2）“不赚不赔”即w₁=0，列出方程求解可得；
（3）设小张在国内销售a件，则在国外销售数量为（5000-a）件，再根据（1）中两个函数关系式列出在国外销售和国内销售的利润之和的解析式，配方成顶点式，由二次函数的性质可得．

解答 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图象得$\left\{\begin{array}{l}{b=150}\\{500k+b=145}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{100}}\\{b=150}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{100}$x+150，
w₁=x（y-20）-62500=-$\frac{1}{100}$x²+130x-62500，
w₂=-$\frac{1}{100}$x²+（150-40）x=-$\frac{1}{100}$x²+110x；

（2）令w₁=0，则-$\frac{1}{100}$x²+130x-62500=0，
解得x₁=12500，x₂=500．
故每月的销售量为500件或12500件时，小张不赚不赔；

（3）设小张在国内销售a件，则在国外销售数量为（5000-a）件，
则所获总利润W=-$\frac{1}{100}$a²+130a-62500-$\frac{1}{100}$（5000-a）²+110（5000-a）
=-$\frac{1}{50}$a²+120a+237500
=-$\frac{1}{50}$（a-3000）²+417500，
∵-$\frac{1}{50}$＜0，
∴当a=3000时，W_最大值=417500，
即在国内销售3000件，在国外销售2000件时，所获总利润最大，为417500元，
答：小张选择在国内销售3000件、在国外销售2000件才能使所获月利润最大．

点评 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．