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    已知：∠MAN＝60°，点B在射线AM上，AB＝4(如图)．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ(点B，P，Q按顺时针排列)，O是△BPQ的外心．

    (1)当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

    (2)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时，AO与BP交于点C，设AP＝x，AC·AO＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

    (3)若点D在射线AN上，AD＝2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

    答案：
    解析：

    　　(1)

    　　证明：如图，连结，

    　　是等边三角形的外心，，　　　　1分

    　　圆心角．

    　　当不垂直于时，作，，垂足分别为．

    　　由，且，

    　　，．

    　　．　　　　1分

    　　．　　　　1分

    　　．点在的平分线上．　　　　1分

    　　当时，．

    　　即，点在的平分线上．

    　　综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上．

    　　(2)

    　　解：如图，

    　　平分，且，

    　　．　　　　1分

    　　由(1)知，，，

    　　，．

    　　，．　　　　1分

    　　．

    　　．．．　　　　1分

    　　定义域为：．　　　　1分

    　　(3)解：①如图，当与圆相切时，；　　　　2分

    　　②如图，当与圆相切时，；　　　　1分

    　　③如图，当与圆相切时，．　　　　2分


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    ②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝________AC(用含α的三角函数表示)，并给出证明．

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