如图,抛物线的对称轴是直线x=
,与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,并且点A的坐标为(—1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD//x轴交抛物线于点D,连接AD交y轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S1, △DEC的面积为S2,求S1:S2的值;
(3)点F坐标为(6,0),连接D,在(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值..
解:(1)
(2)
(3)当时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
【解析】
试题分析:(1)由∵抛物线的对称轴是直线x=
和经过点A(—1,0),得
,解之即可得抛物线的解析式。
∵抛物线的对称轴是直线x=
,∴
①。
又∵抛物线经过点A(—1,0),∴
②。
联立①②,解得。
∴抛物线的解析式为。
(2)根据相似三角形和等高三角形的性质,可得和
,从而
,即S1:S2=
。
在中令x=0得
,∴C(0,4)。
∵抛物线的对称轴是直线x=
,CD//x轴交抛物线于点D,∴D(3,4)。
又OA=1,CD=3,
∵CD//x轴,∴△AEO∽△DEC。∴③。
又∵△AEO和△AEC是两等高三角形,∴④。
③÷④,得,即S1:S2=
。
(3)分四种情况讨论:
①当点P在EC上运动,∠PDQ=900时,如图1,
过点D作DG⊥AB于G,则CD=3,PC= 3—3t,GD=4,QG=3—2t,
由△PCD∽△QGD得,即
,解得
。
②当点P在CD上运动,∠PDQ=900时,如图2,
OQ=6—2t,CD=3,此时,OQDC是矩形。由OQ=CD,即6—2t=3解得。
③当点P在CD上运动,∠QPD=900时,如图3,
OQ=6—2t,CP=3t—3,此时,OQPC是矩形。由OQ=CP,6—2t=3t—3解得。
④当点P在DF上运动,∠QPD=900时,如图4,
由D(3,4),F(6,0),根据勾股定理可得DF=5。
过点D作DG⊥AB于G,则DF=5,GF=3, PF= 11—3t, QF=2t,
由△FPQ∽△FGD得,即
,解得
。
综上所述,当时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
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