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如图,抛物线的对称轴是直线x=,与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,并且点A的坐标为(—1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点C作CD//x轴交抛物线于点D,连接AD交y轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S1, △DEC的面积为S2,求S1:S2的值;

(3)点F坐标为(6,0),连接D,在(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值..

 

【答案】

解:(1)

(2)

(3)当时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。

【解析】

试题分析:(1)由∵抛物线的对称轴是直线x=和经过点A(—1,0),得,解之即可得抛物线的解析式。

∵抛物线的对称轴是直线x=,∴①。

又∵抛物线经过点A(—1,0),∴②。

联立①②,解得

∴抛物线的解析式为

(2)根据相似三角形和等高三角形的性质,可得,从而,即S1:S2=

中令x=0得,∴C(0,4)。

∵抛物线的对称轴是直线x=,CD//x轴交抛物线于点D,∴D(3,4)。

又OA=1,CD=3,

∵CD//x轴,∴△AEO∽△DEC。∴③。

又∵△AEO和△AEC是两等高三角形,∴④。

③÷④,得,即S1:S2=

(3)分四种情况讨论:

①当点P在EC上运动,∠PDQ=900时,如图1,

过点D作DG⊥AB于G,则CD=3,PC= 3—3t,GD=4,QG=3—2t,

由△PCD∽△QGD得,即,解得

②当点P在CD上运动,∠PDQ=900时,如图2,

OQ=6—2t,CD=3,此时,OQDC是矩形。由OQ=CD,即6—2t=3解得

③当点P在CD上运动,∠QPD=900时,如图3,

OQ=6—2t,CP=3t—3,此时,OQPC是矩形。由OQ=CP,6—2t=3t—3解得

④当点P在DF上运动,∠QPD=900时,如图4,

由D(3,4),F(6,0),根据勾股定理可得DF=5。

过点D作DG⊥AB于G,则DF=5,GF=3, PF= 11—3t, QF=2t,

由△FPQ∽△FGD得,即,解得

综上所述,当时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。

 

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(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值;
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