Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+1；（2）4；（3）M （，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；

（2）先求出直线AC的解析式，由于BD∥AC，那么直线BD的斜率与直线AC的相同，可据此求出直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和，由此可求得其面积；

（3）易知OA＝OB＝OC＝1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，则∠CBD＝90°；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标．

解：（1）依题意，得：，解得；

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1；

（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y＝x+1；

由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y＝x+h，则有：1+h＝0，h＝﹣1；

∴直线BD的解析式为y＝x﹣1；联立抛物线的解析式得：

，解得，；

∴D（﹣2，﹣3）；

∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝×2×1+×2×3＝4；

（3）∵OA＝OB＝OC＝1，

∴△ABC是等腰Rt△；

∵AC∥BD，

∴∠CBD＝90°；

易求得BC＝，BD＝3；

∴BC：BD＝1：3；

由于∠CBD＝∠MNA＝90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有：

△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：

或；

即MN＝AN或MN＝3AN；

设M点的坐标为（x，﹣x2+1），

①当x＞1时，AN＝x﹣（﹣1）＝x+1，MN＝x2﹣1；

∴x2﹣1＝（x+1）或x2﹣1＝3（x+1），

解得x＝，x＝﹣1（舍去）或x＝4，x＝﹣1（舍去）；

∴M点的坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）；

②当x＜﹣1时，AN＝﹣1﹣x，MN＝x2﹣1；

∴x2﹣1＝（﹣x﹣1）或x2﹣1＝3（﹣x﹣1），

解得x＝，x＝﹣1（两个都不合题意，舍去）或x＝﹣2，x＝﹣1（舍去）；

∴M（﹣2，﹣3）；

故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．