试题分析:(1)根据点C(0,4),点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1可得关于a,b,c的方程组,解方程求得a,b,c的值,从而得到二次函数的解析式,再将点D(2,m)代入二次函数的解析式,得到关于m的方程,求得m的值,从而求解;
(2)先求得A,B点的坐标,过点E作EG⊥QB,根据相似三角形的判定和性质可得EG=
,由于S
△DQE=S
△BDQ-S
△BEQ,配方后即可得到S
△DQE有最大值时Q点的坐标;
(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
,得到四边形CFNM的最短周长为:2+2
时直线DF′的解析式为:y=3x-2,长而得到满足条件的点M和点N的坐标.
(1)由题意有:
,
解得:
.
所以,二次函数的解析式为:y=-
x
2+x+4,
∵点D(2,m)在抛物线上,即m=-
×2
2+2+4=4,
所以点D的坐标为(2,4).
(2)令y=0,即-
x
2+x+4=0,解得:x
1=4,x
2=-2,
∴A,B点的坐标分别是(-2,0),(4,0),
如图1,过点E作EG⊥QB,垂足为G,设Q点坐标为(t,0),
∵QE∥AD,
∴△BEQ与△BDA相似,
∴
,即
,
∴EG=
,
∴S
△BEQ=
×(4-t)×
,
∴S
△DQE=S
△BDQ-S
△BEQ=
×(4-t)×4-S
△BEQ=2(4-t)-
(4-t)
2=-
t
2+
t+
=-
(t-1)
2+3,
∴当t=1时,S
△DQE有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
(3)由A(-2,0),D(2,4),可求得直线AD的解析式为:y=x+2,即点F的坐标为:F(0,2),
如图2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
,
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为:2+2
.
此时直线DF′的解析式为:y=3x-2,
所以存在点N的坐标为N(
,0),点M的坐标为M(1,1).