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已知,如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m),
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点Q是线段AB上的一动点,过点Q作QE∥AD交BD于E,连结DQ,当△DQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标.
(1)点D的坐标为(2,4).
(2)当t=1时,SDQE有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
(3)满足条件的点N的坐标为N(,0),点M的坐标为M(1,1).

试题分析:(1)根据点C(0,4),点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1可得关于a,b,c的方程组,解方程求得a,b,c的值,从而得到二次函数的解析式,再将点D(2,m)代入二次函数的解析式,得到关于m的方程,求得m的值,从而求解;
(2)先求得A,B点的坐标,过点E作EG⊥QB,根据相似三角形的判定和性质可得EG= ,由于SDQE=SBDQ-SBEQ,配方后即可得到SDQE有最大值时Q点的坐标;
(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2,得到四边形CFNM的最短周长为:2+2时直线DF′的解析式为:y=3x-2,长而得到满足条件的点M和点N的坐标.
(1)由题意有:
解得:
所以,二次函数的解析式为:y=-x2+x+4,
∵点D(2,m)在抛物线上,即m=-×22+2+4=4,
所以点D的坐标为(2,4).
(2)令y=0,即-x2+x+4=0,解得:x1=4,x2=-2,
∴A,B点的坐标分别是(-2,0),(4,0),
如图1,过点E作EG⊥QB,垂足为G,设Q点坐标为(t,0),
∵QE∥AD,
∴△BEQ与△BDA相似,
 ,即
∴EG=
∴SBEQ=×(4-t)×
∴SDQE=SBDQ-SBEQ
=×(4-t)×4-SBEQ
=2(4-t)-(4-t)2
=-t2+t+
=-(t-1)2+3,
∴当t=1时,SDQE有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);

(3)由A(-2,0),D(2,4),可求得直线AD的解析式为:y=x+2,即点F的坐标为:F(0,2),
如图2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为:2+2
此时直线DF′的解析式为:y=3x-2,
所以存在点N的坐标为N(,0),点M的坐标为M(1,1).
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