Question

3．若p²-4p-7=0，q²-4q-7=0，且p≠q，试求$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 由于p²-4p-7=0，q²-4q-7=0，于是可把p和q看作方程x²-4x-7=0的两根，根据根与系数的关系得到p+q=4，pq=-7，再利用通分和完全平方公式得到$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{（p+q）^{2}-2pq}{（pq）^{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵p²-4p-7=0，q²-4q-7=0，
而p≠q，
∴p和q可看作方程x²-4x-7=0的两根，
∴p+q=4，pq=-7，
∴$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{{p}^{2}{q}^{2}}$=$\frac{（p+q）^{2}-2pq}{（pq）^{2}}$=$\frac{{4}^{2}-2×（-7）}{（-7）^{2}}$=$\frac{30}{49}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．