Question

1．已知：AB为⊙O的直径，⊙O的弦CD⊥AB于E，连接OC，BD．
（1）如图1，求证：∠AOC=2∠ABD．
（2）如图2，若点H为弧$\widehat{AB}$的中点，CH交AB于G，连接DG，求证：∠DGH=∠OCD．
（3）如图3，在（2）的条件下，若AE=EG，⊙O的半径为3$\sqrt{2}$，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠AOC=∠AOD，等量代换即可得到结论；
（2）如图2，连接OH，由点H为弧$\widehat{AB}$的中点，得到OH⊥AB，推出CD∥OH，根据平行线的性质得到∠DCH=∠CHO，根据等腰三角形的性质得到∠OCH=∠OHC，由三角形的外角的性质得到∠OCD=2∠DCH，由垂径定理得到OA垂直平分CD，根据等腰三角形的性质得到∠DCG=∠CDG，即可得到结论；
（3）如图2，连接AC，根据圆周角定理得到∠ACG=45°，推出∠OCE=∠ACG=45°，解直角三角形得到CE=OE=3，根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{OG}=\frac{CE}{OH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设AE=EG=$\sqrt{2}$k，OG=2k，求得OG=6-3$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵OC=OD，CD⊥AB，
∴∠AOC=∠AOD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOC=2∠ABD；

（2）解：如图2，连接OH，∵点H为弧$\widehat{AB}$的中点，
∴OH⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥OH，
∴∠DCH=∠CHO，
∵OC=OH，
∴∠OCH=∠OHC，
∴∠OCD=2∠DCH，
∵AB为⊙O的直径，⊙O的弦CD⊥AB于E，
∴OA垂直平分CD，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠CDG，
∴∠DGH=2∠DCH，
∴∠DGH=∠OCD；

（3）解：如图2，连接AC，
∵∠AOH=90°
∴∠ACG=45°，
∵AE=EG，
∴AC=CG，
∴∠ACE=∠GCE，
∴∠OCE=∠ACG=45°，
∵OC=3$\sqrt{2}$，
∴CE=OE=3，
∵CD∥OH，
∴△CEG∽△HOG，
∴$\frac{EG}{OG}=\frac{CE}{OH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设AE=EG=$\sqrt{2}$k，OG=2k，
∴$\sqrt{2}$k$+\sqrt{2}$k+2k=3$\sqrt{2}$，
∴k=$\frac{6-3\sqrt{2}}{2}$，
∴OG=6-3$\sqrt{2}$，
∴BG=OB+OG=6．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．