Question

【题目】如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点、运动的时间为秒

（1）当为何值时，四边形是矩形；

（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由；

（3）直接写出以为对角线的正方形面积为96时的值；

（4）求整个运动当中，线段扫过的面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）当时，四边形为矩形；（2）当时，四边形为菱形，理由见解析；（3）或；（4）64

【解析】

（1）由矩形性质得出BC=AD=16，AB=CD=8，由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=16-t，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）t=6时，AQ=6，DP=6，得出CQ=16-6=10，AP=16-6=10，AP=CQ，AP∥CQ，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，与勾股定理求出AQ==10，得出AQ=CQ，即可得出结论；
（3）分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线PQ为，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可；
（4）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，线段PQ扫过的面积=△AED的面积+△BEC的面积，即可得出结果．

解：（1）∵在矩形中，，，

∴，，

由已知可得，，，

在矩形中，，，

当时，四边形为矩形，

∴，解得：，

∴当时，四边形为矩形；

（2）四边形为菱形；理由如下：

∵，

∴，，

∴，，

∴，，

∴四边形为平行四边形，

在Rt△ABQ中，，

∴，

∴平行四边形为菱形，

∴当时，四边形为菱形；

（3）∵正方形面积为96，

∴正方形的边长为：，

∴；

分两种情况：

①如图1所示：作于，

则，，，

由勾股定理得：，

∵，

∴，解得：；

②如图2所示：，，

∵，

∴，解得：；

综上所述，以为对角线的正方形面积为96时的值为：或；

（4）连接、，、相交于点，

则整个运动当中，线段扫过的面积是：的面积的面积，如图3所示：

∵△AED的面积△BEC的面积矩形的面积，

∴整个运动当中，线段扫过的面积矩形的面积．