【题目】如图,在矩形中,
,
,点
从点
出发向点
运动,运动到点
停止,同时,点
从点
出发向点
运动,运动到点
即停止,点
、
的速度都是每秒1个单位,连接
、
、
.设点
、
运动的时间为
秒
(1)当为何值时,四边形
是矩形;
(2)当时,判断四边形
的形状,并说明理由;
(3)直接写出以为对角线的正方形面积为96时
的值;
(4)求整个运动当中,线段扫过的面积是多少?
【答案】(1)当时,四边形
为矩形;(2)当
时,四边形
为菱形,理由见解析;(3)
或
;(4)64
【解析】
(1)由矩形性质得出BC=AD=16,AB=CD=8,由已知可得,BQ=DP=t,AP=CQ=16-t,当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,得出方程,解方程即可;
(2)t=6时,AQ=6,DP=6,得出CQ=16-6=10,AP=16-6=10,AP=CQ,AP∥CQ,四边形AQCP为平行四边形,在Rt△ABQ中,与勾股定理求出AQ==10,得出AQ=CQ,即可得出结论;
(3)分两种情况:求出正方形的边长为,则对角线PQ为
,由勾股定理求出QM的长,由题意得出方程,解方程即可;
(4)连接AC、BD,AC、BC相交于点E,线段PQ扫过的面积=△AED的面积+△BEC的面积,即可得出结果.
解:(1)∵在矩形中,
,
,
∴,
,
由已知可得,,
,
在矩形中,
,
,
当时,四边形
为矩形,
∴,解得:
,
∴当时,四边形
为矩形;
(2)四边形为菱形;理由如下:
∵,
∴,
,
∴,
,
∴,
,
∴四边形为平行四边形,
在Rt△ABQ中,,
∴,
∴平行四边形为菱形,
∴当时,四边形
为菱形;
(3)∵正方形面积为96,
∴正方形的边长为:,
∴;
分两种情况:
①如图1所示:作于
,
则,
,
,
由勾股定理得:,
∵,
∴,解得:
;
②如图2所示:,
,
∵,
∴,解得:
;
综上所述,以为对角线的正方形面积为96时
的值为:
或
;
(4)连接、
,
、
相交于点
,
则整个运动当中,线段扫过的面积是:
的面积
的面积,如图3所示:
∵△AED的面积△BEC的面积矩形
的面积,
∴整个运动当中,线段扫过的面积
矩形
的面积
.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=2CD·OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长.
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【题目】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中红球有个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为
.
()请直接写出袋子中白球的个数.
()随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图或列表解答)
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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与
(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2﹣5ax+c 交 x 轴于点 A,点 A 的坐标为(4,0).
(1)用含 a 的代数式表示 c.
(2)当 a=时,求 x 为何值时 y 取得最小值,并求出 y 的最小值.
(3)当 a=时,求 0≤x≤6 时 y 的取值范围.
(4)已知点 B 的坐标为(0,3),当抛物线的顶点落在△AOB 外接圆内部时,直接写出 a的取值范围.
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【题目】实验探究:
有A,B两个不透明的布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字-1,-2和-3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点的一个坐标为
.
(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;
(2)求点Q落在直线上的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(4,3).
(1)直接写出A、C两点的坐标;
(2)平行于对角线AC的直线 m 从原点O出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点M、N,设直线m运动的时间为t(秒).
①若 MN=AC,求 t 的值;
②设△OMN 的面积为S,当 t 为何值时,S=.
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【题目】一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式.
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上0.25m处出手,
问:球出手时,他距离地面的高度是多少?
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【题目】某种蔬菜每千克售价(元)与销售月份
之间的关系如图1所示,每千克成本
(元)与销售月份
之间的关系如图2所示,其中图1中的点在同一条线段上,图2中的点在同一条抛物线上,且抛物线的最低点的坐标为(6,1).
(1)求出与
之间满足的函数表达式,并直接写出
的取值范围;
(2)求出与
之间满足的函数表达式;
(3)设这种蔬菜每千克收益为元,试问在哪个月份出售这种蔬菜,
将取得最大值?并求出此最大值.(收益=售价-成本)
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