Question

如图，不重合的A（2，n）、B（n，2）两点在（x＞0）反比例函数的图象上，BC垂直于y轴于点C．
（1）求n的值；
（2）判断△ABC的形状；
（3）若存在点P（m，0），使△PAB是直角三角形，求出满足条件的所有m的值．

Answer 1

解：（1）把A（2，n）代入y=（x＞0）得：2n=n+4，
解得：n=4；

（2）△ABC为等腰直角三角形，理由为：
过A作AE⊥x轴，交BC于点D，
由（1）可知：A（2，4），B（4，2），
∵BC⊥y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴CD=BD=AD=DE=2，
∴△ACD与△ABD都为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°，
∵AC=AB=2，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）连接BE，
∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE，
∴△ABD与△BDE都为等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°，
∴∠ABE=90°，AB=BE=2，
则当P与E重合时，△PAB为直角三角形，此时P坐标为（2，0）；
延长AC与x轴交于点P，连接PB，此时∠PAB=90°，△PAB为直角三角形，
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：，
解得：，
∴直线AC解析式为y=x+2，
令y=0，求得：x=-2，即P（-2，0），
综上，m的值为2或-2．
分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（2）三角形ABC为等腰直角三角形，理由为：过A作AE垂直于x轴，与BC交于D点，由A，B及C的坐标得到AD=DE=CD=BD=2，三角形ADC与三角形ADB为等腰直角三角形，可得出AC=AB，∠CAD=∠BAD=45°，进而得到∠CAB=90°，即可得到三角形ABC为等腰直角三角形；
（3）由AD=BD=DE=2，同（2）得到三角形ABE为等腰直角三角形，当P与E重合时，三角形PAB为直角三角形，此时P（2，0），确定出m=2；延长AC与x轴交于P点，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，令y=0求出x的值，确定出此时P的坐标，即可求出此时m的值，综上，得到所有满足题意m的值．
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．