Question

如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF∥AB，连接OC交EF于H点，连接CF，且CF=2，则HE的长为

 

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Answer 1

分析：如图，连接OE，CE，由EF∥AB得到∠F=∠BCF，由圆周角定理知∠F=∠D=30°，然后可以推出∠BCF=∠D=30°；而根据切线的性质知道∠OCB=90°，进一步得到∠OCF=60°，从而得到∠CEF=∠BCF=30°，由此推出∠CEF=∠F，点C是弧ECF的中点，所以根据垂径定理得到OC⊥EF，

CE

=

CF

；然后即可证明△OEC是等边三角形，最后利用EH=OEsin60°即可求出EH．

解答：解：如图，
连接OE，CE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BCF，
∴∠F=∠D=30°，
∴∠BCF=∠D=30°；
∵∠OCB=90°，
∴∠OCF=60°，
∴∠CEF=∠BCF=30°，
∴∠CEF=∠F，
则点C是弧ECF的中点，
∴OC⊥EF，

CE

=

CF

，∠EOC=60°；
∵OE=OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴OE=EC=CF=2，
∴EH=OE•sin60°=

3

．

点评：本题利用了切线的概念，平行线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正弦的概念等知识求解，综合性比较强．