Question

【题目】如图所示,AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°,为⊙O上的一段弧,且∠BOC＝60°,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F,则PE＋EF＋FP的最小值为__________

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AP、O、OA，分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点M，P关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以

AM=AP=AN，设AP=r，则MN=，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=，即当AP最小时，PE+EF+PF可取最小值，由AP+OP≥OA可知AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，利用勾股定理即可求得AP的长度，即可解答.

连接BC，取AB的中点D，连接CD，如图1

则AD=BD=3

∴AD=BD=AC

∵∠BOC＝60°

∴△ADC是等边三角形

∴CD=AC=3

∴CD=AB

∴∠ACB=90°

连接AP、O、OA，分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点M，P关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，

∴AM=AP=AN

∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC

∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°

∴∠MAN=120°

∴M、P、N在以A为圆心AP为半径的圆上

设AP=r，则MN=

∵PE=ME，PF=FN

∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=

∴当AP最小时，PE+EF+PF可取最小值

∵AP+OP≥OA

∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值

在Rt△ABC中，∵AB＝6,AC＝3,∠BAC＝60°

∴BC=

∵∠BOC=60°，OB=OC

∴△OBC是等边三角形

∴OC=BC=，作OH⊥AC交AC的延长线于H

在Rt△OCH中，∵OC=，∠OCH=30°

∴OH=OC=，CH=OH=

在Rt△AOH中，AO=

此时AP=r=

∴PE+EF+PF的最小值为

故答案为：