Question

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=$\sqrt{3}$，CD=6，以对角线BD为直径作⊙O与CD交于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接DE，证明ABED是矩形，得BE=$\sqrt{3}$，利用三角函数求DE=3、∠BDE=30°、∠EDC=60°，计算∠BDC=90°，得出结论；
（2）求圆心角∠DOE=120°，先利用差求弓形DE的面积，再利用差求图中阴影部分的面积．

解答 证明：（1）连接DE，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∴∠ABC=∠A=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=$\sqrt{3}$，
在Rt△BED中，∠DBE=90°-30°=60°，∠BDE=30°，
tan60=$\frac{DE}{BE}$，DE=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
在Rt△EDC中，cos∠EDC=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EDC=60°，
∴∠BDC=30°+60°=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）连接OE，
∵∠DBE=60°，
∴∠DOE=2∠DBE=120°，
∴S_弓形DE=S_扇形DOE-S_△DOE=$\frac{120×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
∴S_阴影=S_△DCE-S_弓形DE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3-（π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{21\sqrt{3}}{4}$-π；
答：图中阴影部分的面积为$\frac{21\sqrt{3}}{4}$-π．

点评 本题考查了切线的判定和阴影部分面积，判定一条直线是否为圆的切线是常考题型，常用的思路有两种：①无交点，作垂线段，证半径，②有交点，作半径，证垂直；本题应用了第二个思路，有交点有半径，证垂直即可；另外求阴影部分面积常用的方法有：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法；本题应用了第二种方法把阴影部分的面积看成是三角形面积与弓形面积的差．