Question

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB=3，AC=2，则AD的长为

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Answer 1

分析：依四点共圆的判定与性质得出∠ECD=∠ABD．由于∠ABD+∠ACD=360°-120°-60°=180°，即∠ECD+∠ACD=180°，∠ACE=180°，那么A，C，E共线；由于∠ADE=60°，AD=ED，因此△ADE也是等边三角形，可得出∠BAD=60°，AD=AE=AC+AB．

解答：解：∵∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠ECD=∠ABD，在四边形ACDB中，
∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠CDB=360°-120°-60=180°=∠ACD+∠ECD，
即∠ACE=180°即A、C、E共线，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADC=∠CDE+∠ADC=∠BDC=∠ADE=60°，AD=ED，
故△ADE是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
AD=AE=AC+AB=3+2=5．
故答案为：5．

点评：此题主要考查了旋转的性质和四点共圆，利用①等边三角形的性质，三角为60度，三边相等；②四边形内角和为360度；③一个角的度数为180度，则三点共线；④角的和差关系求解是解题关键．