Question

9．在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系．

Answer 1

分析 结论：CH=DG+GH．如图，延长DG交AB于M，连接EM，BG．只要证明B、G、H共线，HC=HB即可解决问题．

解答 解：结论：CH=DG+GH．
理由：如图，延长DG交AB于M，连接EM，BG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD，∠CDE=∠ADF=90°，
∵DE=DF，
∴△CDE≌△ADF，
根据对称性可知，AF与CE的交点K在线段BD上，
∵∠ADM+∠AMD=90°，∠ADM+∠CED=90°，
∴∠AMD=∠CED，∵∠CDE=∠DAM=90°，CD=AD，
∴△ADM≌△DCE，
∴AM=DE=DF，
∴四边形AMFD是矩形，
根据对称性可知，△ABG≌△DCK，
∴∠ABG=∠DCK，
∵∠DCK+∠CDE=90°，∠CDE=∠FAM，
∴∠ABG+∠FAM=90°，
∴BG⊥AF，∵GH⊥AF，
∴B、G、H共线，
∵∠DCB=∠ABC=90°，∠DCK=∠ABG，
∴∠HCB=∠HBC，
∴HC=HB，
根据对称性可知GD=GB，
∴CH=BH=BG+GH=DG+GH，
∴CH=DG+GH．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．