Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax²+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
∴点B的坐标为（-3，1）；（4分）

（2）抛物线y=ax²+ax-2经过点B（-3，1），
则得到1=9a-3a-2，（5分）
解得a=，
所以抛物线的解析式为y=x²+x-2；（7分）

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，（8分）
过点P₁作P₁M⊥x轴，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得点P₁（1，-1）；（11分）
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，（12分）
过点P₂作P₂N⊥y轴，同理可证△AP₂N≌△CAO，（13分）
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得点P₂（2，1），（14分）
经检验，点P₁（1，-1）与点P₂（2，1）都在抛物线y=x²+x-2上．（16分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．