Question

10．如图，△ABO≌△BA′B′，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求过B、A、A′三点的抛物线的函数表达式；
（2）在图象上第二象限找点E，使四边形EAA′B为平行四边形，点E是否存在？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）△ABO，△BA′B′分别向下，向左平移，速度相等，当A，A′重合时停止运动，求在此运动过程中△ABO与△BA′B′重叠面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性质可得出“BB′=AO，BO=A′B′”，结合点A、B的坐标即可找出点A′的坐标，设过B、A、A′三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c，根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）四边形EAA′B为平行四边形，由于字母顺序确定，故各顶点相对位置也随之确定：只有一种可能即线段AB为对角线时，结合平行四边形的性质可知出对角线中点的坐标，再利用中点坐标公式即可求出点E的坐标，即可得出结论；
（3）画出平移后的图形，△ABO向下平移到△ABC，△B A′B′向左平移到DA′B′，AB交x轴于点F，DA′交y轴于点E，AB交DA′于点M，连接OM．设运动距离为t，用含t的代数式表示出A、F、D、E四点的坐标，利用待定系数法求出直线AF和DE的解析式，联立两个解析式成方程组，求出交点M的坐标，分割四边形FOEM，利用三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ABO≌△BA′B′，
∴BB′=AO，BO=A′B′，
又∵A（0，2），B（-1，0），
∴AO=2，BO=1，
∴A′B′=1，OB′=AO-BO=1，
即点A′的坐标为（1，1）．
设过B、A、A′三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c．
∵抛物线过点B（-1，0），A（0，2），A′（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=2}\\{a+b+c=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴过B、A、A′三点的抛物线的函数表达式为y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（2）假设存在，设点E的坐标为（x，y）．
四边形EAA′B为平行四边形，由于字母顺序确定，故各顶点相对位置也随之确定：
所以只能是AB为对角线；
连接AE交AB于点M，如图1所示．

∵四边形EAA′B为平行四边形，
∴AB、A′E互相平分．
∵点A（0，2），点B（-1，0），A′（1，1），
∴点M的坐标为（$\frac{0-1}{2}$，$\frac{2+0}{2}$）=（-$\frac{1}{2}$，1），
∴点E的坐标为（-$\frac{1}{2}$×2-1，1×2-1）=（-2，1）．
故在第二象限存在点E，使四边形EAA′B为平行四边形，点E的坐标为（-2，1）．
（3）如图3，△ABO向下平移到△ABC，△B A′B′向左平移到DA′B′，AB交x轴于点F，DA′交y轴于点E，AB交DA′于点M，连接OM．

移动距离为t时（0＜t≤1），A（0，2-t），F（-$\frac{2-t}{2}$，0），D（-1-t，0），E（0，$\frac{1+t}{2}$），
设直线AF的解析式为y=k₁x+b₁，则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2-t}\\{-\frac{2-t}{2}{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{{b}_{1}=2-t}\end{array}\right.$，
故y=2x+2-t；
设直线DE的解析式为y=k₂x+b₂，则$\left\{\begin{array}{l}{（-1-t）{k}_{2}+{b}_{2}=0}\\{{b}_{2}=\frac{1+t}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{1}{2}}\\{{b}_{2}=\frac{1+t}{2}}\end{array}\right.$，
故y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1+t}{2}$；
∵点M为直线AF与DE的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2-t}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1+t}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t}\end{array}\right.$，
故点M的坐标为（t-1，t）．
设△ABO与△BA′B′重叠面积为S，则
S=S_△FOM+S_△EOM=$\frac{1}{2}$OF•|y_M|+$\frac{1}{2}$OE•|x_M|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2-t}{2}$•t+$\frac{1}{2}$•$\frac{1+t}{2}$•（1-t）=$\frac{1}{4}$（2t-t²）+$\frac{1}{4}$（1-t²）=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{8}$．
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，△ABO与△BA′B′重叠面积的最大值为$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、平行四边形的性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）求出点A′的坐标；（2）利用平行四边形的性质求点E的坐标；（3）利用二次函数的性质求极值．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，通过分割图形借用三角形的面积来求不规则图形的面积是关键．