Question

16．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．
（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；
（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6-2$\sqrt{3}$，求旋转角α的度数．

Answer 1

分析 （1）由含30°角的直角三角形的性质得出AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，由已知得出BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，得出$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，即可得出结论；
（2）由中点的定义得出EC=$\frac{1}{2}$BC，FC=$\frac{1}{2}$AC，得出$\frac{EC}{BC}=\frac{FC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，再由∠BCE=∠ACF=α，证出△BEC∽△AFC，得出$\frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，∠CBE=∠CAF，延长BE交AC于点O，交AF于点M，如图2所示：由三角形内角和定理证出∠BCO=∠AMO=90°，得出BE⊥AF；
（3）由直角三角形的性质得出AB=2BC=4，∠B=60°，得出DB=AB-AD=2$\sqrt{3}$-2，过点D作DH⊥BC于点H，由直角三角形的性质得出BH=$\frac{1}{2}$DB=$\sqrt{3}$-1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DB=3-$\sqrt{3}$，求出CH=3-$\sqrt{3}$，得出CH=DH，由等腰直角三角形的性质得出∠HCD=45°，得出∠DCA=45°，求出α=135°即可．

解答 （1）解：BE⊥AF，AF=$\sqrt{3}$BE；理由如下：
∵在△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$BE；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC，FC=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{FC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠BCE=∠ACF=α，
∴△BEC∽△AFC，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，∠CBE=∠CAF，
延长BE交AC于点O，交AF于点M，如图2所示：
∵∠BOC=∠AOM，∠CBE=∠CAF，
∴∠BCO=∠AMO=90°，
∴BE⊥AF；
（3）解：∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，∠B=60°，
∴DB=AB-AD=4-（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
过点D作DH⊥BC于点H，如图3所示：
∴BH=$\frac{1}{2}$DB=$\sqrt{3}$-1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DB=3-$\sqrt{3}$，
又∵CH=BC-BH=2-（$\sqrt{3}$-1）=3-$\sqrt{3}$，
∴CH=DH，
∴∠HCD=45°，
∴∠DCA=45°，
∴α=180°-45°=135°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．