Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．
①用含y的代数式表示CD²，并猜想CD²与DE²之间的数量关系，请给出证明；
②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+1，代入B（4，0），得：
a（4-2）²+1=0，解得：a=-

1

4

∴抛物线的解析式：y=-

1

4

（x-2）²+1．

（2）①猜想：CD²=DE²；
证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：
CD²=（x-2）²+y²，DE²=（y-2）²；
由（1）知：（x-2）²=-4（y-1）=-4y+4，代入CD²中，得：
CD²=y²-4y+4=（y-2）²=DE²．
②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：
延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；
在Rt△CDF中，∠FDC=180°-120°=60°，∠DCF=30°，则：
CD=2DF、CF=

3

DF；
设DF=m，则：CF=

3

m、CD=DE=2m；
∵EF=ED+DF=2m+m=2，
∴m=

2

3

，DF=m=

2

3

，CF=

3

m=

2 3

3

，OF=OC-CF=2-

2 3

3

，
∴D（2-

2 3

3

，

2

3

）；
同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+

2 3

3

，

2

3

）；
综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2-

2 3

3

，

2

3

）或（2+

2 3

3

，

2

3

）．