Question

已知：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（2

3

，8）
（1）画出符合题目条件的菱形与直角坐标系．
（2）写出A，B两点的坐标．
（3）设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可分两种情况，如图；
（2）过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，因此DF=2，CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A点坐标为（0，2）．由于菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（2

3

，4）；
（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由：根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，因此在直角三角形FAC中，FC=

1

2

AC=PC，而∠DCF=∠DCP=30°，因此△CFE≌△CPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称．

解答：解：本题有两种情况：
第一种情况：（1）画图，如图所示．

（2）过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，
∵tan60°=

FC

DF

=

3

，

2 3

DF

=

3

，
∴DF=2，
CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A点坐标为（0，2）．
由于菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（2

3

，4）；
则A（0，2），B（2

3

，4）．
（3）F（0，8）；

第二种情况：（1）画图，如图所示．

（2）A′（0，14），B′（2

3

，12）
（3）F′（0，8）．

点评：本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形的性质、轴对称图形等知识点．